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→ Les Polynômes › Premier degré ›
Comment déterminer le signe d'un polynôme du premier degré ? La méthode est assez intuitive et il faudra essayer bien sûr de retenir la règle : le signe dépend du coefficient dominant « \(a\) ». Mais il y a plus important ! Vous devez surtout être capable de retrouver le résultat ou de le vérifier seul. Et c'est pour cela que nous allons bien expliquer, et en détail, toutes les techniques, comme celle du tableau de signes par exemple.
Les calculs que nous faisons dans la page ne sont pas très complexes, nous utilisons beaucoup les techniques pour résoudre une équation du premier degré. Et si vous ne les connaissez pas bien, consultez aussi notre page sur les polynômes et leur degré.
Pas de suspense ! Vous connaissez déjà la conclusion : C'est \(a\) le responsable. Ce qui est important, c'est de comprendre comment on le prouve.
Nous voulons déterminer le signe d'un polynôme du premier degré : \[\boxed{P(x)=ax + b \;\;\;\;\small{\mathbf{avec}}\normalsize\;a\neq 0}\] Le coefficient dominant \(a\) est non nul, nous allons distinguer les deux cas possibles : \(a\) positif ou \(a\) négatif.
Remarquons tout d'abord que si \(a=0\) alors \(P(x)=b\). Cela veut dire que \(P(x)\) ne dépend plus de \(x\) et ne varie donc pas. Ce cas est sans intérêt pour nous ici (le polynôme est du signe de \(b\)).
Nous allons chercher quelles sont les valeurs de la variable \(x\) pour lesquelles :
le polynôme s'annule \(\rightarrow\) résoudre l'équation du premier degré \(P(x)=0\)
le polynôme est strictement positif \(\rightarrow\) résoudre l'inéquation \(P(x)\gt0\)
le polynôme est strictement négatif \(\rightarrow\) résoudre l'inéquation \(P(x)\lt0\)
Nous présentons les calculs en colonne pour mieux mettre en parallèle leur déroulement.
| \(P(x)=0\) | \(P(x)\gt0\) | \(P(x)\lt0\) |
| \[ax+b=0\] \[ax=-b\] \[x=\frac{-b}{a}\] | \[ax+b\gt0\] \[ax\gt -b\] \[x\gt\frac{-b}{a}\] | \[ax+b\lt0\] \[ax\lt -b\] \[x\lt\frac{-b}{a}\] |
| \(P(x)\) est nul pour \(x=\displaystyle\frac{-b}{a}\) | \(P(x)\) est positif pour \(x\gt\displaystyle\frac{-b}{a}\) | \(P(x)\) est négatif pour \(x\lt\displaystyle\frac{-b}{a}\) |
Nous constatons que le clivage se fait sur la valeur de la racine de l'équation \(P(x)=0\).
Nous allons maintenant utiliser un Tableau de Signes où nous inscrirons le signe de \(P(x)\) selon la valeur de la variable \(x\).
Récapitulons nos résultats.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\displaystyle\frac{-b}{a}\) | \(+\infty\) | ||
| Signe de \(P(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| Signe contraire de \(a\) (à gauche du zéro) |
\(0\) | Signe de \(a\) (à droite du zéro) |
Un petit commentaire pour bien comprendre la construction de ce tableau :
La première ligne
La première ligne contient les valeurs que peut prendre la variable \(x\) dans l'ensemble des nombres réels, et la valeur pour laquelle le polynôme s'annule (la racine de l'équation \(P(x)=0\)). Nous avons bien remarqué que c'est au niveau de cette racine que le signe du polynôme change.
Une ligne résultat
Nous y trouvons le signe de \(P(x)\) selon la valeur de \(x\) comme nous l'avons déterminé dans le tableau d'étude du signe.
Une ligne de conclusion
Nous constatons que le signe du polynôme dépend du signe de son coefficient \(a\).
Nous avons trouvé une règle !
Pour \(a\gt0\), \(P(x)\) est du signe de \(a\) quand la valeur de la variable est plus grande que la racine du polynôme, et du signe contraire sinon.
Répétons-nous, avant le résultat, c'est la méthode que vous devez retenir et savoir réutiliser.
Tous ces calculs ne sont (peut-être) pas très parlants. Rien de tel qu'un bon petit exemple pour illuminer tout ça !
?
Etudions le signe du polynôme \(P(x)=2x+3\)
Le coefficient \(a\) prend ici la valeur \(2\), il est donc strictement positif.
Nous allons reprendre les mêmes étapes que dans le cas théorique. Cherchons d'abord pour quelles valeurs de la variable \(x\), \(P(x)\) est négatif, nul ou positif :
| \(P(x)=0\) | \(P(x)\gt0\) | \(P(x)\lt0\) |
| \[2x+3=0\] \[2x=-3\] \[x=\frac{-3}{2}\] \[\boxed{x=-1,5}\] | \[2x+3\gt0\] \[2x\gt -3\] \[x\gt\frac{-3}{2}\] \[\boxed{x\gt-1,5}\] | \[2x+3\lt0\] \[2x\lt -3\] \[x\lt\frac{-3}{2}\] \[\boxed{x\lt-1,5}\] |
| \(P(x)\) est nul pour \(x=-1,5\) | \(P(x)\) est positif pour \(x\gt-1,5\) | \(P(x)\) est négatif pour \(x\lt-1,5\) |
Maintenant récapitulons nos trouvailles dans un tableau de signes.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1,5\) | \(+\infty\) | ||
| Signe de \(P(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| Signe contraire de \(a\) | \(0\) | Signe de \(a\) |
Et ça tombe bien, nous retrouvons la règle que nous avons découverte !
En appliquant exactement la même méthode - séparer les trois cas possibles pour le signe de \(P(x)\) - voyons si le coefficient \(a\), quand il est négatif, a la même influence sur le signe de son polynôme.
Nous représentons de la même façon les calculs sur trois colonnes.
| \(P(x)=0\) | \(P(x)\gt0\) | \(P(x)\lt0\) |
| \[ax+b=0\] \[ax=-b\] \[x=\frac{-b}{a}\] | \[ax+b\gt0\] \[ax\gt -b\] \[x\color{red}{\lt}\frac{-b}{a}\] | \[ax+b\lt0\] \[ax\lt -b\] \[x\color{red}{\gt}\frac{-b}{a}\] |
| \(P(x)\) est nul pour \(x=\displaystyle\frac{-b}{a}\) | \(P(x)\) est positif pour \(x\lt\displaystyle\frac{-b}{a}\) | \(P(x)\) est négatif pour \(x\gt\displaystyle\frac{-b}{a}\) |
Ce qui se passe dans les deux dernières colonnes vous surprend peut-être. Mais il faut se rappeler que :
!
Le sens d'une inégalité change quand on divise chaque membre par un nombre négatif.
Et nous nous trouvons dans le cas où \(a\) est négatif !
Vérifions notre règle sur l'exemple de l'inégalité \(1\lt4\)
Divisons chaque membre par \(-2\) en appliquant la règle, c'est à dire en changeant le sens de l'inégalité : \[\frac{1}{-2}\gt\frac{4}{-2}\]
Vérifions si nous avons eu raison en effectuant le calcul : \[-0,5\gt -2\]
Il faut donc faire très attention !
En conclusion de notre étude, nous constatons que la racine du polynôme est la même que dans le premier cas, et que le changement de signe du polynôme se fait encore par rapport à elle.
Voici le Tableau de Signes que nous obtenons.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\displaystyle\frac{-b}{a}\) | \(+\infty\) | ||
| Signe de \(P(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| Signe contraire de \(a\) (à gauche du zéro) |
\(0\) | Signe de \(a\) (à droite du zéro) |
Nous constatons que pour \(a\lt0\), \(P(x)\) est du signe de \(a\) quand la valeur de la variable est plus grande que la racine du polynôme, et du signe contraire sinon. Comme dans le premier cas.
Trop de lettres prend la tête ! Prenons de nouveau un exemple.
?
Quel est le signe du polynôme \(P(x)=-4x+20\) quand \(x\) varie ?
Le coefficient \(a\) prend ici la valeur \(-4\), il est donc strictement négatif.
Pour ce cas aussi nous reprenons soigneusement le processus que nous avons expliqué : nous recherchons toujours les valeurs de la variable \(x\) pour lesquelles \(P(x)\) est soit négatif, soit nul, soit positif.
| \(P(x)=0\) | \(P(x)\gt0\) | \(P(x)\lt0\) |
| \[-4x+20=0\] \[-4x=-20\] \[x=\frac{-20}{-4}\] \[\boxed{x=5}\] | \[-4x+20\gt0\] \[-4x\gt -20\] \[x\lt\frac{-20}{-4}\] \[\boxed{x\lt5}\] | \[-4x+20\lt0\] \[-4x\lt -20\] \[x\gt\frac{-20}{-4}\] \[\boxed{x\gt5}\] |
| \(P(x)\) est nul pour \(x=5\) | \(P(x)\) est positif pour \(x\lt5\) | \(P(x)\) est négatif pour \(x\gt5\) |
De même, nous synthétisons ces résultats dans un tableau de signes.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(5\) | \(+\infty\) | ||
| Signe de \(P(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| Signe contraire de \(a\) | \(0\) | Signe de \(a\) |
Nous retrouvons les mêmes variations de signe que dans le cas théorique.
Que \(a\) soit positif ou négatif, la conclusion est la même !
Le signe d'un polynôme de degré 1 dépend seulement du signe de \(a\).
Et nous avons établi la règle suivante :
Soit un polynôme du premier degré \(P(x)=ax+b\) avec \(a\neq0\), de racine égale à \(x_1=\displaystyle\frac{-b}{a}\) :
\(P(x)\) est du signe contraire de son coefficient dominant \(a\), pour toutes valeurs de \(x\) inférieure à \(x_1\), c'est à dire pour \(x\in\mathopen{]}-\infty;\frac{-b}{a}\mathclose{[}\)
\(P(x)\) est du signe de \(a\), pour toutes valeurs de \(x\) supérieure à \(x_1\), c'est à dire pour \(x\in\mathopen{]}\frac{-b}{a};+\infty\mathclose{[}\)
Les auteurs
Passionnés par la transmission et la mise à la portée des Maths, en particulier à ceux qui ne se croient pas capables de les comprendre.
Arielle Bresson : Professeur certifié de Mathématiques, enseigne au Lycée Technique et Hôtelier de Monaco, membre du Bureau de l'Association Monaco Mathématiques, chevalier des Palmes Académiques.
Maurice Bresson : Créateur/concepteur/rédacteur de capte-les-maths, diplômé de MIAGE, ancien responsable du service informatique d'une usine du groupe l'Oréal, ancien gestionnaire et administrateur d'une enseigne de prêt-à-porter.
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