Forme canonique générale d'un polynôme de degré deux et rôle du discriminant

Pour déterminer la forme canonique, nous partirons de la forme générale, c'est à dire développée réduite et ordonnée du trinôme.

Nous avons illustré cette technique dans notre étude des identités remarquables du second degré que nous vous conseillons de lire attentivement.

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Tout d'abord nous devons faire apparaître un terme en \(x^2\) seul.

Pour cela, nous mettons en facteur le coefficient du monôme \(ax^2\) : \[\begin{align}P(x)&=ax^2+bx+c\\[1.5ex]&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\end{align}\]

Nous pouvons diviser par \(a\) parce qu'il est non nul.

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Le début de la somme remarquable est constitué par les monômes qui contiennent \(x\), c'est à dire \(x^2+\displaystyle{\frac{b}{a}}x\).

La méthode est de faire apparaître une identité remarquable. Nous en connaissons trois, et la plus proche est celle-ci : \[A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\]

Posons \(A=x\) et le produit remarquable devient alors \((x+B)^2\)

Comment trouver \(B\) ? Le plus simple est d'appliquer la règle suivante :

Le terme \(B\) présent dans le produit remarquable \((x+B)^2\) est égal au coefficient du monôme de degré un (le terme en \(x\) du polynôme) multiplié par \(1/2\)

Utilisons cette astuce avec le coefficient du monôme en \(x\) : \[\begin{align}B&=\frac{b}{a}\times\frac{1}{2}\\[1.5ex]&=\frac{b}{2a}\end{align}\] Notre forme remarquable devient : \[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\]

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Développons ce carré en utilisant l'identité remarquable :

\[\begin{align} \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &=x^2+2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\\[1.5ex] &=\color{red}{x^2+\frac{b}{a}x}+\frac{b^2}{4a^2} \end{align}\]

Nous constatons que nous ne pouvons pas utiliser directement ce développement, car nous avons un terme en trop. La partie utile de l'expression est notée en rouge, c'est celle que nous avons fait apparaître dans la première étape de notre démonstration et dont nous avons besoin : \[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\color{red}{x^2+\frac{b}{a}x}+\frac{b^2}{4a^2}\\[1.5ex] \iff\\[1.5ex] \color{red}{x^2+\frac{b}{a}x}=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\\[1.5ex]\]

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Maintenant remplaçons simplement l'expression dans le polynôme de départ :

\(\begin{align} P(x) &=a\left(\color{red}{x^2+\frac{b}{a}x}+\frac{c}{a}\;\right)\\[1.5ex] &=a\left(\color{red}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}}+\frac{c}{a}\;\right)\\[1.5ex] &=a\left(\;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\;+\frac{4a\times c}{4a\times a}\;\right)\\[1.5ex] &=a\left(\;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \end{align}\)

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Nous notons avec plaisir l'apparition de notre vieil ami le discriminant : \[\Delta= b^2 - 4ac\]

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Mais surtout, et ce n'est pas évident à remarquer immédiatement, nous voilà avec une superbe forme canonique ! Rappelons nous la définition générale qui affirme qu'un polynôme du second degré sous la forme canonique s'écrit : \[P(x)=a(x-p)^2+q\]

Nous voyons que dans notre formule, il faut prendre \(p=-\displaystyle{\frac{b}{2a}}\) et \(q=-\displaystyle{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\)

Nous obtenons alors l'écriture de la forme canonique de tout polynôme du second degré.

Nous avons trouvé la forme canonique générale d'un polynôme du second degré. Ce qui est surprenant et fascinant, c'est qu'au lieu d'avoir gratuitement tout compliqué - comme on le dirait pourtant - nous nous sommes au contraire approchés tout près de propriétés fondamentales qui permettront de résoudre les équations du second degré. Regardons pourquoi :

Nous nous intéressons à l'expression entre crochets.

• Le premier terme est un carré, il est donc positif.

• Le dénominateur du deuxième terme est un carré, il est donc positif

Le seul élément dont le signe est inconnu est le discriminant Delta, c'est de lui que tout dépend maintenant !

Nous allons discriminer, c'est à dire distinguer, trois cas selon le signe de Delta ! Voilà la force de la forme canonique que nous avons trouvée.

Rappelons-nous que nous ne travaillons ici qu'avec des nombres réels.

Si \(\Delta\gt0\) alors \(\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}\gt0}\), puisque \(4a^2\gt0\)

Nous pouvons alors considérer que l'expression \[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2-\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\] est la différence de deux carrés ! Cela revient à considérer que \(\Delta\) est un carré. Alors nous avons le droit d'en calculer la racine carrée.

Maintenant, pourquoi se réjouir d'avoir une différence de deux carrés ? Bien sûr parce qu'il existe une identité remarquable : \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) !

Dans notre formule, il faudra donc poser que : \(A=x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\)

Et comme \(B^2=\displaystyle{\frac{\Delta}{(2a)^2}}\) alors \(B=\displaystyle{\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

Il nous reste maintenant à appliquer la formule :

\(\begin{align} P(x) &=a\left[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]\\[2ex] &=a\left(x+\frac{b}{2a}- \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}+ \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\\[2ex] &=a\left(x+\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \end{align}\)

Et soudain, que voyons nous apparaître : la forme factorisée du polynôme !

Cherchons les racines de ce polynôme. Nous savons que pour qu'un produit de facteurs s'annule, il faut que l'un ou l'autre des facteurs soit nul. \(a\) est non nul par définition, donc seuls les deux autres facteurs peuvent être égaux à zéro, ce qui nous donne deux petites équations du premier degré :

\[x+\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}=0\]

\[x+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}=0\]

Leur résolution ne pose pas de problème, et nous obtenons deux solutions possibles que nous baptisons (quelle surprise !) \(x_1\) et \(x_2\) :

\[x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\]

\[x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\]

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Nous reprenons la forme canonique générale.

Si \(\Delta=0\) alors le terme \(\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\) disparaît.

Le polynôme s'écrit alors : \[P(x)=a\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2\]

Cherchons les racines de \(P(x)\).

Nous savons que \(a\) est non nul. La seule possibilité pour que le polynôme s'annule est que l'autre facteur soit égal à zéro, ce qui veut dire que la solution est : \[x=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\]

Dans ce cas aussi, nous avons retrouvé un résultat important du cours !

Repartons de l'expression entre crochets présente dans la forme canonique générale : \[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2-\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\]

Si \(\Delta\lt0\) alors l'expression \(\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\) est négative puisque son signe ne dépend que de Delta.

Mais alors, cela veut dire aussi que \(-\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\) est positive (moins par moins = plus).

Un carré est toujours positif. Donc l'expression entre crochets, dans ce cas, est la somme de deux nombres positifs, et nous somme sûrs que le deuxième n'est jamais nul (puisque \(\Delta\neq0\)) donc \(P(x)\) est formé du produit d'un nombre non nul \(a\) et d'un facteur positif strictement. Le polynôme ne peut jamais s'annuler.

Nous allons maintenant justifier une autre expression de la forme canonique générale d'un polynôme du second degré. Cette forme sert dans l'étude des paraboles.

Cette forme, la plus connue, est celle que l'on retient ! Mais les manipulations de calcul algébrique ne sont pas à connaître par coeur bien sûr !

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Pour vous expliquer, par la fin en quelque sorte, le but de la démonstration, souvenons-vous de la formule :

\(P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta \;\;\;\;\small{\mathbf{avec}} \;\normalsize \begin{cases}\alpha=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\\[2ex] \beta=P(\alpha) \end{cases}\)

\(\displaystyle{P\left(\frac{-b}{2a}\right)}\) correspond donc au deuxième terme de la différence multiplié par \(a\) et nous allons le faire apparaître sous sa forme développée.

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Nous repartons donc la forme canonique générale \[P(x)=a\left[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2 - \displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\right]\]

Nous distribuons \(a\) et nous intéressons au deuxième terme de la différence :

\(\begin{align} -a\frac{\Delta}{4a^2} &=-a\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\\[2ex] &=\frac{\color{red}{-ab^2}+4a^2c}{4a^2}\\[2ex] &=\frac{\color{red}{ab^2-2ab^2}+4a^2c}{4a^2}\\[2ex] &=\frac{ab^2}{4a^2}-\frac{2ab^2}{4a^2}+\frac{4a^2c}{4a^2}\\[2ex] &=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c \end{align}\)

Nous avons coloré en rouge la petite astuce de calcul qui permet d'arriver au résultat souhaité.

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Un peu tiré par les cheveux sans doute, mais ça marche ! Nous avons obtenu la forme développée réduite et ordonnée du polynôme de départ : \(P\left(\displaystyle\frac{-b}{2a}\right)\)

Remplaçons tout cela dans la formule générale en faisant apparaître aussi \(\displaystyle\frac{-b}{2a}\) dans le premier terme :

\(\begin{align} P(x) &=a\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2+a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c\\[2ex] &=a\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2+P\left(\displaystyle\frac{-b}{2a}\right) \end{align}\)

Et à ce moment là si nous posons \[\alpha=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\] nous pouvons dire que :

La méthode que nous avons suivie

Au commencement nous ne disposions que de la définition d'une fonction polynôme \(P\) de degré 2 sous sa forme développée réduite et ordonnée. \(P(x)=ax^2+ bx+c\) avec \(a\neq0\)

Par le calcul algébrique et l'utilisation des identités remarquables du second degré, nous avons démontré plusieurs résultats importants utilisés dans les cours de capte-les-maths.com.

Egalité des formes

Nous avons montré que toutes les formes d'un polynôme sont égales et que quand on connaît l'une on peut retrouver les autres.

Tout polynôme de degré 2 a une forme canonique

Il existe une forme canonique pour tous les polynômes du second degré.

Cette forme canonique se présente soit sous une forme générale soit sous une forme simplifiée mais ces deux formes sont égales :

\[a\left[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2- \displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\right]=a(x-\alpha)^2+\beta\] avec \(\quad\normalsize{\Delta= b^2-4ac}\quad\) et \(\quad\normalsize \begin{cases}\alpha=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\\[2ex] \beta=P(\alpha) \end{cases}\)

Vous trouverez des écritures où \(\alpha\) et \(\beta\) sont remplacés par deux réels quelconques, souvent nommés \(p\) et \(q\).

Passage de la forme développée à la factorisée

Nous connaissons maintenant les règles de factorisation du trinôme par l'utilisation du discriminant.

Le rôle du discriminant est d'indiquer si le polynôme peut-être factorisé et sous quelle forme, et donc s'il a ou non des racines réelles.

• Si \(\Delta\gt0\) alors le polynôme a deux racines et peut se factoriser.

• Si \(\Delta=0\) alors le polynôme a une racine (dite double) et peut se factoriser.

• Si \(\Delta\lt0\) alors le polynôme n'a pas de racine dans \(\mathbb R\) et ne peut pas se factoriser.

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On peut dire que tout polynôme dont le discriminant est supérieur ou égal à zéro peut s'écrire sous la forme factorisée : \[P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\] Dans le cas où Delta est nul, les racines \(x_1\) et \(x_2\) sont égales.

Donc ne jamais oublier que les polynômes de degré 2 qui n'ont pas de racines réelles ne sont pas factorisables.

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Discriminer ces cas, trouver pour quelles valeurs la fonction polynôme \(P\) s'annule ou pas, calculer les solutions... revient à résoudre l'équation \(P(x)=0\)

Mais n'oubliez pas de vérifier d'abord si le polynôme ne pourrait pas se transformer simplement avec une identité remarquable, sans calcul de Delta.

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Connaître la forme factorisée c'est connaître les racines du polynôme et connaître ses racines, c'est savoir factoriser le polynôme.

Passage de la forme canonique à la développée

Si l'on se trouve en présence d'une forme canonique, pour trouver la forme développée, il faudra développer l'expression.

Passage de la forme factorisée à la développée

Pour trouver la forme développée à partir de la forme factorisée, il faut effectuer les calculs, réduire l'expression.

Passage de la forme développée à la canonique

Pour effectuer le passage de la forme développée à la forme canonique, il faut appliquer la méthode que nous vous avons détaillée à base d'égalités remarquables.

Passage de la forme factorisée à la canonique

Le passage de la forme factorisée à la forme canonique est plus délicat à mettre en oeuvre. Le plus sûr sans doute est de revenir d'abord à la forme développée puis d'utiliser la forme canonique simplifiée.

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