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Pour bien utiliser les fonctions polynômes, il faut d'abord apprendre un peu du vocabulaire et des définitions indispensables. C'est le but de cette page d'introduction au cours ! Nous allons vous donner toutes les définitions nécessaires pour bien les manipuler, comme de savoir reconnaître le degré d'un polynôme ou comprendre l'importance du coefficient dominant « \(a\) ».
Une fois ces notions assimilées, il sera plus facile de ne pas vous laisser impressionner par cet assemblage un peu étrange de chiffres et de lettres, et même de trouver sa manipulation distrayante !
Les opérations sur les polynômes demandent un peu de calcul algébrique, si vous ne vous sentez pas trop à l'aise, reprenez tranquillement les exemples sur une feuille en suivant exactement nos explications détaillées. Vous verrez aussi que l'utilisation des polynômes a beaucoup en commun avec la manipulation des équations.
Avant de parler des polynômes parlons de leur constituant de base : le monôme.
Un monôme est une expression de la forme \(ax^n\) où :
\(a\) est un nombre réel, appelé coefficient. C'est une constante.
\(n\) un nombre entier appelé degré. C'est une constante.
\(x\) est appelé la variable. Elle peut prendre différentes valeurs, varier donc.
Parfois vous trouverez le terme indéterminée au lieu de variable, pour exprimer que l'essentiel d'un polynôme se trouve dans ses coefficients et le rang qu'ils occupent.
Le terme monôme vient du grec Monos = «seul, unique» et Nomos = «partie»
Prenons des exemples :
\(2x^6\), \(-3x^2\), \(x\) sont des monômes
\(3consoles\) aussi car si nous appelons généralement la variable \(x\) nous pouvons en fait lui donner le nom qui nous convient, surtout s'il a un sens dans la problématique.
Mine de rien, avec les polynômes, on a vite fait de toucher à des domaines importants et subtils des mathématiques. Nous ne serons pas trop ambitieux et nous nous contenterons, c'est largement suffisant au Collège ou au Lycée, de - par exemple - confondre allègrement les expression polynôme et fonction polynôme.
On définit un polynôme comme une somme de monômes.
Un polynôme de degré \(n\) est une fonction \(P\) définie sur \(\mathbb R\) qui peut s'écrire sous la forme :
\[\boxed{P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... +\;a_1x + a_0\;\;\;\small{\mathbf{avec}}\normalsize\;a_n\neq 0}\]
\(\boxed{P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...+ a_1x + a_0 \\ \;\small{\mathbf{avec}}\normalsize\;a_n\neq 0}\)
\(a_n\), \(a_{n-1}\), ..., \(a_1\), \(a_0\) sont des nombres réels.
\(n\) est un entier positif.
Vous rencontrerez parfois l'écriture : \[P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\;\;\;\small{\mathbf{avec}}\normalsize\;a_n\neq 0\]
Cette définition nous montre que nous nous intéresserons aux polynômes dont tous les monômes ont la même variable, ici \(x\).
\(-3x^5+4x^4+x^3+x^2+17x-7\) est un polynôme.
Tous les degrés ne sont pas forcément présents. Par exemple : \(3x^{50}-56x^{30}+4\) est aussi un polynôme
Le terme polynôme vient de Poly = «plusieurs» et Nomos = «partie»
Rassurez-vous, une fois ceci exposé pour la bonne règle, nous nous contenterons maintenant de polynômes de la forme \(ax^2+bx+c\) - c'est à dire de ce qu'on appelle polynômes du second degré - ou de la forme \(bx+c\), c'est à dire du premier degré.
Vous êtes en droit de vous demander ce que veut dire degré ici (petite indication, ça n'est pas une histoire de température...)
Nous avons vu que le degré d'un monôme correspond à la puissance à laquelle la variable est élevée.
Par exemple :
\(x^2\) est de degré \(2\)
\(x^3\) est de degré \(3\)
\(x^{50}\) est de degré \(50\)
\(x^1\) est de degré \(1\)
En fait, on n'écrit pas \(x^1\), car \(x^1=x\) et les mathématiciens - un peu flemmards - trouvent beaucoup plus simple d'écrire \(x\) seulement. Mais la puissance est là, même si on ne la voit pas !
On pourrait élever à la puissance zéro, mais le cas n'est pas intéressant pour nous ici car \(x^0=1\) et \(1\) ne varie pas, c'est une constante.
Un polynôme est formé de monômes, son degré dépend de l'un d'eux en particulier :
Le degré d'un polynôme est égal à celui de son monôme de degré le plus grand.
Et de la même façon que nous avons parlé de monôme de degré par exemple \(4\), nous parlerons de polynôme de degré \(4\).
Concrètement et rapidement, nous pouvons dire :
Le degré d'un polynôme est égal à la puissance la plus grande de \(x\).
Par exemple
dans le polynôme \(x^3 + x^2 + x\), la puissance la plus grande de \(x\) est \(3\), donc on dit que le polynôme est de degré \(3\)
dans le polynôme \(x^2 + 2x\), la puissance la plus grande de \(x\) est \(2\), donc on dit que le polynôme est de degré \(2\)
dans le polynôme \(x + 3\), la puissance la plus grande de \(x\) est \(1\), donc on dit que le polynôme est de degré \(1\)
On peut faire énormément de choses avec les polynômes, ils peuvent prendre plusieurs formes et on les nomme de différentes façons.
Nous avons vu que l'on désigne donc les polynômes par leur degré. Il existe plusieurs expressions synonymes pour les nommer.
Un polynôme de degré un est aussi un polynôme du premier degré.
Un polynôme de degré deux est aussi un polynôme du second degré (parfois vous trouverez deuxième degré).
Un polynôme de degré trois est aussi un polynôme du troisième degré.
Et ainsi de suite...
Il existe encore une façon de nommer certains polynômes selon le nombre de leurs monômes.
un polynôme de degré 2 s'appellera aussi trinôme de degré 2 (ou du second degré)
un polynôme de degré 1 s'appellera aussi binôme de degré 1 (ou du premier degré)
Pour que la lecture d'un polynôme soit plus simple, on range les monômes qui le compose dans l'ordre des puissances.
Nous avons deux possibilités :
Selon les puissances décroissantes \[-x^3 + 4x^2 + x + 3\]
Selon les puissances croissantes \[3 +x + 4x^2 - x^3\]
On dit alors que le polynôme est ordonné dans l'ordre décroissant (ou croissant).
On dit qu'un polynôme est réduit quand il n'y a qu'un seul monôme pour chaque degré.
Prenons par exemple, pour bien comprendre, le polynôme :\[x^6+x^5-3x^6\]
Nous constatons qu'il n'est pas réduit, puisqu'il a deux monômes de même degré \(6\). Pour qu'il soit sous la forme réduite, il faut qu'il n'y en ait qu'un seul de ce degré.
Nous devons effectuer l'opération \[x^6-3x^6\] et nous obtenons le polynôme réduit \[-2x^6+x^5\]
Nous voyons que réduire un polynôme c'est aussi le simplifier et en rendre la lecture et l'utilisation plus facile.
On dit qu'un polynôme est développé quand plus aucune opération ne peut être effectuée dans le polynôme.
Nous allons voir sur des exemples comment se présenterait un polynôme non développé.
Prenons le polynôme \[x(x+2)-3\] Il n'est pas développé puisqu'il reste encore une opération possible à effectuer, distribuer le terme \(x\) mis en facteur. Nous obtenons ainsi : \[x^2+2x-3\] qui est formé seulement de monômes.
De même le polynôme \[3(x-1)\] n'est pas développé puisqu'il reste une multiplication à effectuer. Nous obtenons \[3x-3\] qui est la forme développée du polynôme.
Nous constatons que, même si ça peut sembler paradoxal, un polynôme peut être à la fois réduit et développé.
Certains polynômes se présentent sous la forme d'un produit de facteurs, tous les termes sont multipliés, on dit alors que le polynôme est sous la forme factorisée.
Prenons l'expression : \[0,1(x-6)(x+1)\] et développons la
\(\begin{align}P(x) &=0,1(x-6)(x+1)\\ &=0,1(x^2+x-6x-6)\\ &=0,1(x^2-5x-6)\\ &=0,1x^2-0,5x-0,6 \end{align}\)
Nous trouvons un polynôme.
Mais attention ! Tous les produits de facteurs ne sont pas forcément des polynômes.
Par habitude, on appelle souvent le coefficient du monôme de plus haut degré (celui qui donne son degré au polynôme) : le coefficient \(a\), même si son vrai nom est « coefficient dominant ». Tous les autres coefficients du polynôme peuvent prendre n'importe quelle valeur dans \(\mathbb R\), mais \(a\) lui doit impérativement être non nul.
Cela se comprend facilement car si \(a\) est nul alors le monôme de plus haut degré disparaît et le polynôme n'est plus du degré qu'on croyait.
Dans la suite de nôtre cours sur les polynômes nous allons travailler surtout sur des polynômes de degré 2 au maximum.
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Prenons un polynôme du second degré de la forme \[ax^2+bx+c\] Que se passe-t-il quand les coefficients sont nuls ?
Si \(a\neq0\) alors le monôme \(ax^2\) est présent.
Si \(a\neq0\) alors nous avons une fonction polynôme de degré 2.
Cela même si \(b\) et \(c\) étaient nuls
Si \(a=0\) alors le terme en carré disparaît et le polynôme devient \[bx+c\]
Si \(a=0\) et \(b\neq0\) nous avons affaire à une fonction polynôme de degré 1, que l'on appelle une fonction affine.
Cela même si \(c\) était nul
Mais si \(b=0\) alors le terme en \(x\) disparaît. Et notre polynôme devient \[c\]
Si \(a=0\) et \(b=0\) et \(c\neq0\), nous avons une fonction polynôme de degré 0, c'est à dire une fonction constante.
Les polynômes s'utilisent dans beaucoup de domaines, il faut souvent trouver pour quelles valeurs un polynôme \(P(x)\) s'annule, et donc savoir résoudre l'équation \(P(x)=0\).
La valeur de l'inconnue \(x\) telle que l'équation \(P(x)=0\) soit vérifiée s'appelle la racine du polynôme \(P(x)\).
Pour les polynômes du premier degré, il faut savoir résoudre une équation du premier degré à une inconnue.
Pour les polynômes du second degré, il faut savoir résoudre une équation du second degré à une inconnue.
Il ne faut pas confondre les expressions «le polynôme s'annule» et «le polynôme nul». Un polynôme s'annule pour une valeur précise de l'indéterminée alors que polynôme nul est le nom que l'on donne au polynôme dont tous les coefficients sont nuls quelque soit la valeur de la variable.
Deux polynômes sont égaux si les coefficients des monômes de même degré sont égaux.
Il faut donc identifier les coefficients de même rang : le plus simple est d'ordonner les deux polynômes, puis d'effectuer les comparaisons une à une.
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Demandons-nous, par exemple, à quelles conditions les deux polynômes \[P(x)=ax^2+bc+c\] et \[Q(x)=-7x^2+2c+3\] sont égaux ?
\(P(x)\) et \(Q(x)\) sont égaux si, et seulement si :
les coefficients des termes de degré deux sont égaux, donc \(a=-7\)
les coefficients des termes de degré un sont égaux, donc \(b=2\)
les coefficients constants sont égaux, donc \(c=3\)
Il faut que toutes ces conditions soient vérifiées.
Etudier le signe d'une expression, c'est trouver dans quels cas elle est positive, négative ou nulle.
Pour un polynôme la recherche du signe consiste à déterminer sur quels intervalles de valeur de \(x\), la fonction prendra des valeurs positives, négatives ou nulle.
Nous étudierons plus spécialement les techniques pour trouver le signe d'un polynôme du premier degré et le signe d'un polynôme du second degré.
Les auteurs
Passionnés par la transmission et la mise à la portée des Maths, en particulier à ceux qui ne se croient pas capables de les comprendre.
Arielle Bresson : Professeur certifié de Mathématiques, enseigne au Lycée Technique et Hôtelier de Monaco, membre du Bureau de l'Association Monaco Mathématiques, chevalier des Palmes Académiques.
Maurice Bresson : Créateur/concepteur/rédacteur de capte-les-maths, diplômé de MIAGE, ancien responsable du service informatique d'une usine du groupe l'Oréal, ancien gestionnaire et administrateur d'une enseigne de prêt-à-porter.
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