Comprendre ce qu'est une équation

Voyons d'abord, pour ceux qui penseraient n'en avoir jamais croisée, à quoi peut ressembler une équation. Prenons un exemple connu, l'égalité d'Einstein \(e = mc^2\)

Peu importe pour nous ici ce qu'elle veut dire ! Observons-la seulement. Nous voyons deux morceaux séparés par le signe égal. Ce qui nous fournit notre première conclusion.

Une équation est une égalité mathématique. Sa première caractéristique évidente, c'est l'utilisation du signe égal (\(=\)) qui la sépare en deux parties.

Mais il y a plus ! Et ça ne se voit peut-être pas dans l'exemple...

Une équation est composée de termes que l'on connaît et d'autres que l'on ne connaît pas, et que justement on cherche. Il faut voir une équation comme une question que l'on se pose, une énigme : que vaut cette quantité que je ne connais pas ?

Dans l'équation d'Einstein, la question pourrait être : que vaut \(e\) (que dans ce cas je ne connais pas) par rapport à \(m\) et \(c\) (que je connais) ?

Retenons donc que

Ces balances, d'avant l'électronique, ont deux plateaux séparés par un fléau. On s'en sert en amenant les deux plateaux à l'équilibre, cela en ajoutant ou en enlevant une quantité de l'un des côtés.

Chaque plateau représente un côté de l'équation et le fléau représente le signe égal.

Prenons un petit exemple pour bien visualiser le fonctionnement : sur le plateau gauche de la balance nous plaçons 2 kg de pêches et sur le plateau droit 1 kg de pommes. Le plateau de gauche est plus bas que celui de droite, alors pour les aligner, nous ajoutons des poires aux pommes, jusqu'à ce que les deux plateaux soient au même niveau.

Le fléau, situé au milieu, mesure le mouvement simultané des deux plateaux en sens inverse l'un de l'autre (quand l'un monte, l'autre descend).

Et si maintenant, les 2 plateaux sont à la même hauteur, c'est que les poids sont les mêmes sur le plateau de gauche et sur le plateau de droite : les poids sont égaux. C'est ce moment précis où la balance est à l'équilibre qui nous intéresse pour comprendre le fonctionnement d'une équation.

Dans une équation, nous pouvons retrouver cette idée d'équilibre grâce au signe égal (\(=\)). C'est fondamental !

Passons maintenant en douceur à une traduction mathématique du fonctionnement de notre balance. Nous pouvons traduire dans une équation, l'égalité du poids de nos fruits sur chaque plateau. Et nous obtenons :

Poids des pommes + Poids des poires = Poids des pêches

Jusque là, rien de bien sorcier. Mais nous pouvons préciser un peu le vocabulaire :

• A gauche du signe égal, nous avons une entité que l'on appelle le membre de gauche de l'équation.

• A droite du signe égal, nous avons une autre entité que l'on appelle le membre de droite de l'équation.

Et voici la règle fondamentale de fonctionnement d'une équation, règle à respecter dans tous les cas.

Il traîne là dessous une petite idée. C'est que dans une équation on compare des choses qui sont comparables (car dans la même unité, dans l'exemple de la balance, le kilo) ou qui participent du même champ sémantique : par exemple l'équation (pomme = poire) n'a aucun sens si on se place dans une idée de mesure de masse, mais si on se place dans la notion de fruit, alors l'égalité peut être écrite et est valable.

Le poids des poires est donc ce paramètre inconnu dont nous parlions quand nous avons défini ce qu'est une équation.

Si nous enlevons toutes les pommes du plateau de droite, nous devons enlever l'équivalent en poids de pêches de l'autre côté, pour que la balance reste à l'équilibre (pour que l'égalité soit respectée). Nous avons donc :

Poids des poires = Poids des pêches − (équivalent en pêches du poids des pommes)

Ecrit comme ça, c'est un peu lourd et pas très clair ! Mais nous savons que cet équivalent en poids de pêches est égal au poids des pommes et donc que dans notre équation il est plus simple d'écrire

Poids des poires = Poids des pêches − Poids des pommes

Et nous avons trouvé le poids de nos poires !

Nous pouvons remarquer que tout se passe alors comme si en traversant de l'autre côté du égal, le signe des pommes avait été inversé. On pourrait dire que le signe égal agit comme un miroir quand on passe à travers, ou comme un vortex pour les amateurs de SF.

Cette règle d'écriture est importante pour bien raisonner avec les équations, retenez-la, mais nous aurons l'occasion d'y revenir souvent dans la suite du cours et dans les exercices.

L'inconnue ! Elle est bien sûr pleine de mystères ! C'est elle que l'on aimerait tellement aborder pour mieux la connaître... Et dans les maths comme dans la vie, c'est pareil...

En général dans les équations, on représente l'inconnue par une lettre, le plus souvent le \(x\). Mais cela n'a rien d'obligatoire. On pourrait choisir le point d'interrogation « ? ».

Dans notre exemple, l'inconnue était le poids des poires. Répétons-le, nous ne connaissions pas cette inconnue avant de l'avoir cherchée.

Comme vous l'avez constaté, nous pouvons représenter les équations avec des mots, mais bien sûr pour les utiliser, il faut les écrire sous la forme mathématique. Voici donc votre premier exemple tout simple d'équation :

\[x + 1 = 3\]

Analysons-la, ce qui nous permettra de fixer le vocabulaire et les principes.

Voilà ! Maintenant que nous savons reconnaître des équations, nous allons nous attaquer à ce qu'on appelle leur résolution, c'est à dire que nous allons chercher quelle peut bien être la valeur de notre variable inconnue.

En fait, nous avons déjà résolu une équation quand nous avons déterminé le poids de nos poires (1 kg, vous l'aviez calculé n'est-ce pas) ! Car c'est cela la résolution des équations, trouver la valeur que l'on ne connaît pas dans l'égalité, la réponse à notre question, la solution de notre problème... Donc :

Nous pouvons donc dire que :

Donc rapidement dit, résoudre une équation c'est trouver la valeur de \(x\) qui la vérifie (c'est à dire qu'avec cette valeur de \(x\), les deux membres sont égaux).

Pour couvrir tous les cas, et ne pas se poser dans cette partie du cours des questions inutiles, nous considérerons que les solutions que nous cherchons appartiennent à l'ensemble des nombres réels, c'est à dire à l'ensemble de tous les nombres possibles.

Pour nous donner le moral, commençons par étudier un exemple simple. Soit l'équation :

\[x + 5 = 7\]

Nous voyons immédiatement que nous avons :

\[\color{red}2 + 5 = 7\]

Et nous l'avons notre solution ! Nous trouvons que si \(x\) prend la valeur 2 alors l'égalité est vérifiée. C'est cela résoudre des équations ! Nous pouvons dire que cette équation a pour solution (ou pour racine) le nombre 2.