Equation du second degré à une inconnue

Quelques petits rappels et explications sont bien sûr nécessaires :

Il s'agit bien d'une équation puisque nous avons deux membres séparés par le signe égal. Et comme toutes les autres, les équations du second degré posent une question : quelles sont la ou les valeurs que doit prendre l'inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

L'inconnue s'appelle \(x\) mais nous savons bien qu'elle pourrait s'appeler autrement : \(z\) ou \(scooter\)

\(a\), \(b\) et \(c\) s'appellent les coefficients.

• \(a\) peut prendre n’importe quelle valeur dans l’ensemble des nombres réels \(\mathbb R\) mais ne doit pas être nul (car sinon le terme en \(x^2\) disparait et nous ne sommes plus dans le second degré (\(0\times x^2=0\))

• \(b\) et \(c\) peuvent prendre n’importe quelle valeur dans l’ensemble des nombres réels

Le membre de gauche est un polynôme du second degré sous sa forme développée réduite et ordonnée ! C’est-à-dire la forme qu'on ne peut pas plus simplifier. Vous la reconnaîtrez facilement grâce au terme au carré \(x^2\) (d'où le degré deux). On l'appelle aussi trinôme de degré 2.

Il ne faut pas oublier que la nature des équations du second degré est très liée à celle des polynômes de même degré. Puisqu'un polynôme du second degré peut prendre des formes différentes, il faudra en général se ramener par le calcul algébrique à la forme générale que nous vous avons donnée pour résoudre l'équation. Quand vous saurez tout sur la résolution, prenez le temps qu'il faut pour lire notre séquence sur les polynômes, il ne sera pas perdu !

Dans un problème, vous ne rencontrerez peut-être pas la forme générale du polynôme que nous vous avons donnée dans le membre de gauche. Voici quelques formes classiques :

Le polynôme est sous la forme canonique\[a(x-p)^2+q=0\] avec \(p\) et \(q\) qui sont des nombres réels, comme par exemple avec \[3(x-7)^2+2=0\]

Le polynôme est sous la forme d'un produit de deux polynômes de degré un \[a(x-x_1)(x-x_2)=0\] ou \[a(x-x_1)^2=0\] avec \(x_1\) et \(x_2\) nombres réels, comme dans \[8(x-3)(x-4)=0\] ou \[-3(x-0,5)^2=0\]

Vous serez éventuellement face à une forme polynômiale qui demandera à être ramenée à la forme développée réduite et ordonnée \(ax^2+bx+c\) comme \[3(x-7)^2+2+8(x-3)(x-4)=-x^2\]

Il existe des cas particuliers à reconnaître sans hésitation, où une équation du second degré sous la forme polynômiale, se présente ainsi quand des coefficients sont nuls :

• Si \(b\) et \(c\) sont nuls : \(ax^2=0\)

• Si \(c\) est nul : \(ax^2+bx=0\)

• Si \(b\) est nul : \(ax^2+c=0\)

Mais, répétons-le, \(a\) ne peut pas être nul car nous obtiendrions la forme \(bx+c\),et puisqu'il n'y a plus de terme en \(x^2\), il s'agirait d'une équation du premier degré !

Rappelons-nous : pour résoudre une équation nous devons trouver la ou les solutions qui vérifient l'égalité.

Si l'équation est du second degré c'est donc pareil. Nous chercherons les racines du polynôme correspondant, ou autrement dit les valeurs de la variable pour lesquelles le trinôme de degré 2 sera nul.

Nous avons découvert quelques outils pratiques, comme le discriminant, dans l'étude du second degré pour les polynômes, mais nous allons réexpliquer et approfondir dans la suite du cours toutes les notions indispensables à connaître avec les équations.

Il existe trois grandes méthodes de résolution des équations du second degré que nous décortiquerons dans les pages suivantes :

• La résolution algébrique

  Nous déterminerons les racines de l'équation en utilisant le discriminant du polynôme écrit sous sa forme développée réduite.

• La résolution graphique

  Elle fait appel à l'étude de la parabole, c'est à dire la courbe représentative associée à la fonction polynôme de degré 2.

• Apprendre à reconnaître des solutions évidentes

  Dans quelques cas particuliers de racines évidentes (que l'on voit sans calculs) il ne sera pas nécessaire de passer par les méthodes de résolution classiques. Il suffira de donner la solution. Nous verrons cela dans les exemples du cours et les exercices.

  Par exemple si le polynôme est sous une forme factorisée ou que sa composition le rapproche beaucoup d'une identité remarquable, c'est le jackpot !

• Vous découvrirez que ce n'est pas toujours possible.

  Parfois une équation du second degré n'a pas de solutions... Mais il faudra savoir l'expliquer !