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→ Notions de Base › Les équations › Second degré ›
Résolution algébrique d'une équation du second degré: voilà qui paraît bien inquiétant... Eh non ! Nous avons là une page de calculs, c'est vrai, mais il s'agit seulement ici d'accepter (et d'apprendre) les formules données pour le discriminant ou les racines, et d'appliquer la méthode détaillée telle que nous l'exposons. Nous allons faire doucement le tour des techniques à connaître pour résoudre une équation du second degré par le calcul algébrique, et vous verrez ça n'est pas bien difficile, et c'est même peut-être amusant...
Cette méthode s'appelle résolution par le calcul, ou résolution algébrique, ou résolution par le calcul algébrique.
Si vous souhaitez approfondir, comprendre pourquoi nous utilisons ces méthodes et ces formules, nous vous l'expliquons dans la séquence sur les polynômes. Vous découvrirez que résoudre algébriquement une équation de degré 2 et étudier la forme du trinôme associé sont deux parties d'un même problème, l'une renvoie à l'autre.
Avant de passer aux exemples pratiques, nous allons vous donner les outils nécessaires dans le petit formulaire qui suit. Mais pas d'inquiétudes ! Il faut accepter ces formules comme elles sont, et apprendre à les utiliser méthodiquement.
Pour utiliser la technique de résolution que nous allons expliquer, nous utiliserons la forme développée de l’équation du second degré \[\boxed{ax^2+bx+c=0}\]
Le membre de gauche de l'équation est un polynôme du second degré sous la forme développée, c'est à dire habituelle, celle que nous reconnaissons tout de suite.
Il faut identifier soigneusement la valeur des coefficients \(a\), \(b\) et \(c\)
Pour résoudre l’équation nous allons avoir besoin d’un outil spécial que l’on appelle le Discriminant et que l’on note avec la lettre grecque \(\Delta\) (qui correspond à notre D français). \[\boxed{\Delta=b^2-4ac}\] Ce discriminant a un rôle fondamental, car c'est lui qui nous dira combien l'équation a de solutions.
Discriminant vient du verbe discriminer, qui veut dire séparer. Le discriminant est l'outil, le critère qui permet de trouver quelles solutions a une équation du deuxième degré.
Trois cas peuvent se présenter :
Si le discriminant est positif \(\left(\Delta \gt 0\right)\) alors l'équation admet deux solutions, notées \(x_1\) et \(x_2\), qui se calculent avec les formules. \[\boxed{x_1=\frac{-b\color{red}{+}\sqrt\Delta}{2a}}\] \[\boxed{x_2=\frac{-b\color{red}{-}\sqrt\Delta}{2a}}\]
Si le discrimant est nul \(\left(\Delta = 0\right)\) alors l'équation a une seule solution qui se calcule avec la formule : \[\boxed{x=\frac{-b}{2a}}\]
Si le discriminant est négatif \(\left(\Delta \lt 0\right)\) alors l'équation n'admet pas de solution réelle.
Elle n'a pas de racines qui appartiennent à l'ensemble des nombres réels \(\mathbb R\)
Nous pouvons remarquer qu'une équation du second degré (de degré 2) a au maximum deux solutions.
Toutes ces formules vous paraissent peut-être un peu compliquées, nous allons donc suivre une méthode, exactement comme nous suivrions la recette d’un délicieux gâteau au chocolat ! Nous allons approfondir les trois situations possibles (discriminant positif, nul ou négatif) en étudiant trois équations du second degré, car rien ne remplace un cas concret !
Nous l'avons vu, dans ce cas l'équation a deux solutions différentes.
?
Pour ce premier cas, nous utiliserons l'équation : \[2x^2-3x+1=0\]
Comment la résoudre ?
C'est notre première approche, donc nous allons détailler chaque étape !
Comme toujours il faut être attentif à la méthode utilisée, prendre la peine de la suivre étape par étape sans découragement. Et comme dans une recette, nous avons besoin d'ingrédients : ce sont les coefficients a, b et c. Ces ingrédients, nous devons les travailler dans un certain ordre, et les outils nécessaires sont les formules que nous vous avons données...
En fait nous savons tout de suite que \(a=2,\,b=-3,\,c=1\)... Comment le savons-nous ? En comparant notre équation de départ \[2x^2-3x+1=0\] à la forme générale d'une équation du second degré \[ax^2 + bx + c = 0\]
Il faut établir la correspondance. Vous pouvez la visualiser avec le schéma suivant, où le membre gauche de l'équation est écrit sous la forme d'une somme de termes :
\[\array{\;\;\;\;\underbrace{\color{red}{2}}x^2 & + & \;\;\;\underbrace{\color{red}{(-\;3)}}x & + & \underbrace{\color{red}{1}}\\ \LARGE{\updownarrow} & & \LARGE{\updownarrow} & & \LARGE\updownarrow \\ \;\;\;\;\overbrace{\color{red}{a}}x^2 & + & \;\;\;\overbrace{\color{red}{b}}x & + & \overbrace{\color{red}{c}} }\]Après avoir identifié les constantes \(a\), \(b\) et \(c\), nous devons calculer la valeur du discriminant Delta. Nous connaissons la formule : élever \(b\) au carré et lui enlever quatre fois le produit de \(a\) et \(c\), c'est à dire \(4ac\)
Dans \(4ac\) , les \(\times\) sont implicites car il est lourd et superflu d'écrire \(4\times a\times c\), même si nous allons le faire ici pour qu'il n'y ai aucune ambigüité (cf. ce rappel sur les multiplications implicites dans les équations).
Nous allons effectuer le calcul \(\Delta=b^2–4\times a\times c\), sans nous poser de questions, parce qu'il faut le faire. Nous vous avons prévenus, c’est comme une recette de cuisine.
Au fait, peu importe si vous ne retenez pas le mot compliqué « discriminant », retenez plus simplement qu’il faut calculer « Delta ». Et si l'origine de ces formules vous intéresse vraiment (ce serait super !), sachez qu'il est tout à fait possible de démontrer qu'elles sont exactes.
Avec les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\), effectuons le calcul : \[\begin{align}\Delta &=\,\quad b^2\,\,\,-4\times a\times c\\ &=(-3)^2-4\times2\times1\\ &=1 \end{align}\]
Dans tous ces calculs, dès qu’un nombre est négatif, nous devons l'entourer de parenthèses, sinon c’est la catastrophe !
Nous avons déterminé Delta ! Mais ce qui compte d'abord ici, c'est que le discriminant soit positif ! Nous trouvons dans notre formulaire d'introduction, que dans ce cas nous avons deux solutions différentes pour notre équation.
Et déjà, la deuxième étape est terminée !
Nous trouverons la forme des racines \(x_1\) et \(x_2\) dans notre formulaire de départ !
Nous utiliserons la formule : \[x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\] Allons-y ! No stress !
Nous savons que : \(a=2\), \(b=-3\), \(\Delta=1\)
Nous remplaçons, dans la formule, chaque lettre par sa valeur : \[\begin{align} x_1 &=\frac{-\color{red}{(}-3\color{red}{)}+\sqrt1}{2\times2}\\[.5ex] &=\frac44\\[1.6ex] &=1 \end{align}\]
\(x_1=1\) est la première racine (ou première solution) que nous cherchions.
!
Un petit message que nous répétons, sans nous lasser, tout au long de cette page, son seul vrai danger : il faut prendre des précautions dans les calculs pour ne pas vous planter !
Bien mettre les nombres négatifs entre parenthèses !
Calculer ensuite, et séparément, le numérateur et le dénominateur
Seulement après effectuer la division
Si vous voulez tout faire en même temps, il faut, en plus, entourer de parenthèses numérateur et dénominateur, sinon résultat faux ! Et risque d'erreur maximal, car on a vite fait d’oublier une parenthèse ouverte ou fermée.
La formule de calcul de \(x_2\) ressemble beaucoup à celle de \(x_1\), nous allons aller plus vite !!
\[x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\]La seule différence (importante quand-même) est qu’il y a \(-\) devant \(\sqrt\Delta\)
Nous remplaçons donc dans la formule donnée, chaque coefficient par sa valeur : \[\begin{align} x_2 &=\frac{-\color{red}{(}-3\color{red}{)}-\sqrt1}{4}\\[.5ex] &=\frac 24\\[1.6ex] &=0,5 \end{align}\]
Nous avons récupéré le résultat du calcul du dénominateur (\(2a=4\)) que nous avions trouvé avec la première solution (il faut toujours économiser nos efforts !)
Donc nous avons trouvé que \(x_2=0,5\) est la deuxième solution (ou deuxième racine).
En conclusion, l’équation \(2x^2-3x+1=0\) admet deux solutions \(x_1=1\) et \(x_2=0,5\)
Et si vous vous dites : ok ! cette recette de cuisine est bien belle mais qu’est ce qui prouve que les deux solutions sont exactes ? Qu’elles résolvent bien l’équation ?
Tout d'abord, bravo pour cette interrogation ! Et vérifions que \(x_1=1\) est solution de l’équation \(2x^2-3x+1=0\) !
Remplaçons l’inconnue \(x\) par la valeur \(1\) et regardons si l'égalité est vraie, si le membre de gauche vaut bien zéro.
Petit rappel : nous avons vu que si le membre de gauche est égal au membre de droite alors une équation est vérifiée.
\[\begin{align} 2\times\color{red}{1}^2-3\times\color{red}{1}+1 &=2-3+1\\ &=3-3\\ &=0 \end{align}\] Et c’est gagné ! Nous avons vérifié que \(x_1=1\) est bien une des solutions de l’équation.
De la même façon, regardons si \(x_2=0,5\) est bien la deuxième racine : \[\begin{align} 2\times\color{red}{0,5}^2-3\times\color{red}{0,5}+1 &=0,5-1,5+1\\ &=1,5-1,5\\ &=0 \end{align}\]
Donc \(x_2=0,5\) est bien notre deuxième solution !
Si le discriminant vaut zéro, on peut dire que l'équation n'a qu'une seule solution.
?
Nous allons travailler sur l'équation : \[-4x^2+4x-1=0\]
Quelles sont ses solutions ?
Nous reprendrons les mêmes étapes que dans l'exemple précédent :
Identification de \(a\), \(b\) et \(c\)
Calcul de delta avec la formule \(\Delta=b^2-4ac\)
Calcul de la solution, cette fois avec la formule \(x=\displaystyle\frac{-b}{2a}\)
Donc rien de bien difficile ! Allez, go !!
Comme vous le savez maintenant, nous allons les trouver en regardant l'équation à résoudre, soit ici : \(-4x^2+4x-1=0\) \[\array{\;\;\;\;\underbrace{\color{red}{(-4)}}x^2 & + & \;\;\;\underbrace{\color{red}{4}}x & + & \underbrace{\color{red}{(-1)}}\\ \LARGE{\updownarrow} & & \LARGE{\updownarrow} & & \LARGE\updownarrow \\ \;\;\;\color{red}{a=-4} & & \;\color{red}{b=4} & & \;\;\;\color{red}{c=-1} }\]
Nous commençons sûrement à retenir cette formule de calcul du discriminant ! En remplaçant les coefficients par leur valeur nous obtenons :
\[\begin{align}\Delta &=b^2-4ac\\ &=b^2-4\times\,\quad a\,\,\,\times\quad c\\ &=4^2-4\times(-4)\times(-1)\\ &=16-16\\ &=0 \end{align}\]Une fois de plus, attention à ne pas oublier les parenthèses autour des nombres négatifs !
Donc \(\Delta=0\) ! Notre \(\Delta\) n’est pas positif mais il est nul !
Nous l'avons dit, si \(\Delta=0\) notre équation n'admet qu'une seule solution que nous obtenons en remplaçant \(a\), \(b\) et \(c\) par leurs valeurs dans la formule donnée :
\[\begin{align} x &=\frac{-b}{2a}\\[.5ex] &=\frac{-4}{2\times(-4)}\\[.5ex] &=\frac{-4}{-8}\\[1.6ex] &=0,5 \end{align}\]
Deux points à bien noter :
L'équation \(-4x^2+4x-1=0\) admet donc une solution \(x=0,5\)
Si \(\Delta=0\), nous avons dit que l'équation avait une seule solution. En fait, et plus précisément, elle a deux solutions qui sont égales ! Vous entendrez parfois dire que l'équation admet une solution double. Si vous souhaitez approfondir ce point, voilà une explication.
Reprenons les formules de calcul des racines de l'équation, \(x_1\) et \(x_2\). Dans chacune nous voyons le terme \(\sqrt{Delta}\). Or puisque nous sommes dans le cas où \(\Delta=0\), nous avons : \[\sqrt{Delta}=\sqrt0=0\] Ce qui signifie que le terme \(\sqrt{Delta}\) va disparaître lors du calcul des solutions. Effectuons l'opération :
et nous obtenons
\[x_1=x_2=\frac{-b}{2a}\]Comme les deux solutions ont égales on peut donc dire qu'on a une solution double...
Nous pouvons donc répondre aussi que l’équation \(-4x^2+4x-1=0\) admet une solution double \(x=0,5\)
Pour être sûr d'un résultat exact, vous devez calculer ce que vaut le membre de gauche de l'équation en donnant à \(x\) la valeur de la solution trouvée, c'est à dire \(0,5\).
Donc pour \(x=0,5\), le membre de gauche de l'équation \(-4x^2+4x-1=0\) devient : \[\begin{align} (-4)\times\color{red}{0,5}^2+4\times\color{red}{0,5}-1 &=-1+2-1\\ &=0 \end{align}\]
Et vous voilà comblés ! Votre équation est vérifiée, vous ne vous êtes pas trompés dans le calcul de la racine de l'équation.
Les calculettes permettent de calculer cela au fur et à mesure qu'on rentre les chiffres, mais n'oubliez pas la priorité des opérations : on effectue d'abord les multiplications ou les divisions, et après les additions ou les soustractions.
Quand \(\Delta\) est négatif, l'équation n'a pas de solution dans l'ensemble des nombres réels.
?
Pour comprendre ce qui se passe dans ce cas, prenons l'équation \[2x^2+3x+4=0\]
Est-ce qu'elle peut avoir des solutions dans \(\mathbb R\) ?
Et quelque chose nous dit que vous allez adorer ce troisième cas, Celui qui est le plus cool pour nous... Allez cette fois vous connaissez la musique !
A partir de l'équation \(2x^2+3x+4=0\), ce n'est plus un problème ! Nous obtenons : \(a=2\), \(b=3\) et \(c=4\)
Nous appliquons encore une fois la formule du discriminant donnée en haut de page : \[\begin{align} \Delta &=b^2-4\times a\times c\\ &=3^2-4\times2\times4\\ &=-23 \end{align}\]
Et là nous constatons que notre \(\Delta\) n’est pas positif, qu'il n’est pas nul non plus, mais qu'il est négatif ! Or si vous connaissez un peu les racines carrées, vous savez que l'on ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre réel négatif.
Nous ne savons pas calculer le \(\sqrt{-23}\) que nous trouvons dans les formules de calcul des solutions de l'équation.
Donc puisque nous ne pouvons pas calculer la racine carrée d'un nombre réel négatif, nous ne pouvons pas non plus calculer une solution dans l’ensemble des nombres réels pour notre équation. C'est impossible !
En conclusion, nous pouvons affirmer que l’équation \(2x^2+3x+4=0\) n’admet aucune solution dans l'ensemble des nombres réels.
Autrement dit, nous ne pouvons pas trouver une valeur de \(x\) qui vérifie l’égalité \(2x^2+3x+4=0\)
Vous l'avez peut-être remarqué, dans ce troisième cas nous insistons sur le fait que \(\Delta\) doit être un nombre réel, car sinon nous ne pouvons pas affirmer qu'il n'y a pas de solution à l'équation. Vous devrez le préciser chaque fois. Car, même si cela dépasse l'objet de cette page, il existe des solutions dans l'ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\).
Vous arrivez à la fin des trois cas de base et vous êtes (presque) des champions des équations du second degré. Il vous reste à bien lire attentivement le résumé qui suit.
Il existe un cas particulier dont la résolution est immédiate !
Il s'agit du cas d'une équation constituée d'un polynôme du second degré sous sa forme factorisée égal à zéro. C'est à dire d'une équation se présentant ainsi : \[\boxed{P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=0}\]
Pour qu'un produit soit nul, il faut que l'un de ses facteurs soit nul.
Bien évidemment \(a\) est non nul sinon le cas n'a pas d'intérêt.
Il nous reste donc la possibilité pour que le polynôme s'annule que soit \(x-x_1=0\), soit \(x-x_2=0\), ce qui arrive quand \(x=x_1\) ou \(x=x_2\)
\(x_1\) et \(x_2\) sont donc les solutions de l'équation \(P(x)=0\). Et nous pouvons tirer la conclusion suivante :
Si nous avons à résoudre une équation de la forme \[\boxed{a(x-x_1)(x-x_2)=0}\] avec \(a\neq0\), alors nous pouvons immédiatement affirmer que les racines de l'équation du second degré sont \(x_1\) et \(x_2\).
Si l'équation est sous la forme \(P(x)=a(x-x_1)^2=0\) alors nous avons une solution double \(x=x_1\).
Donc pour résoudre une équation du second degré il faut, en résumé, retenir deux formules (imbuvables à première vue) et connaître le fonctionnement du discriminant. Mais après ce n'est qu'une mécanique, des formules à appliquer sans états d'âme.
Pour résoudre une équation du second degré de la forme \(ax^2+bx+c=0\)
Nous identifions les valeurs \(a\), \(b\) et \(c\)
Nous calculons \(\Delta= b^2 - 4ac \)
Si \(\Delta\geqslant0\) alors deux solutions \(\,x_1=\displaystyle\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\,\) et \(\,x_2=\displaystyle\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\)
Nous voyons que si \(\Delta=0\) alors nous sommes dans le cas limite d'une solution double où \(\,x=\displaystyle\frac{-b}{2a}\)
Si \(\Delta\lt0\) alors pas de solutions dans l'ensemble des nombres réels.
Nous l'avons dit au début de notre séquence, la forme d'un polynôme de degré 2 et la résolution de l'équation qui lui est associée sont intimement liées : la connaissance des racines nous permet par exemple de donner simplement la forme factorisée du polynôme.
Il existe une autre façon de résoudre une équation du second degré, en traçant la courbe qui la représente. Nous vous l'expliquons à la page suivante.
Et rappelez-vous que pour bien assimiler la méthode et les formules, il vous reste, comme d’habitude avec capte-les-maths.com, à travailler nos exercices !
Les auteurs
Passionnés par la transmission et la mise à la portée des Maths, en particulier à ceux qui ne se croient pas capables de les comprendre.
Arielle Bresson : Professeur certifié de Mathématiques, enseigne au Lycée Technique et Hôtelier de Monaco, membre du Bureau de l'Association Monaco Mathématiques, chevalier des Palmes Académiques.
Maurice Bresson : Créateur/concepteur/rédacteur de capte-les-maths, diplômé de MIAGE, ancien responsable du service informatique d'une usine du groupe l'Oréal, ancien gestionnaire et administrateur d'une enseigne de prêt-à-porter.
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