Simplifier l'équation : première règle pour la résoudre !

Nous l'avons vu, une équation est formée de plusieurs groupes d'expressions que l'on appelle les termes de l'équation. Il existe deux types de termes :

1. Les termes en \(x\), qui sont par exemple de la forme \(x\), \(−\,x\), \(2x\), \(−\,3x\) (pour en parler nous les associerons au signe qui précède)

2. Les valeurs numériques (c'est à dire les termes sans \(x\)) comme \(2\), \(+\,2\), \(−\,2\) (pour en parler nous les associerons au signe qui précède)

Vous remarquez donc que quand nous parlons d'un terme, nous l'associons au signe d'opération placé avant (s'il n'y en pas de visible alors ce signe est le \(+\)).

Simplifier une équation du premier degré à une inconnue signifie grosso modo qu'à la fin, nous voulons avoir tous les \(x\) dans le membre de gauche et toutes les valeurs numériques dans le membre de droite. C'est cela l'objectif !

Nous allons vous expliquer en détail la méthode pour y arriver. Etudiez-la avec soin, et ne vous inquiétez pas, quand vous la maîtriserez nous pourrons aller beaucoup plus vite (en sautant les étapes qui vous seront devenues évidentes).

Maintenant que nous avons défini notre stratégie (avoir les \(x\) à gauche et le reste à droite) nous nous trouvons face à quatre situations possibles.

Le principe, c'est que nous allons transformer notre équation de base en équations équivalentes, en ajoutant ou en enlevant des expressions, en même temps de chaque côté de l'équation.

Nous avons le droit de le faire car une des propriétés des égalités est de ne pas changer quand on « ajoute », « enlève », « multiplie par », ou « divise par » une même expression chaque côté de l'égalité. Nous pouvons l'appliquer aux équations du premier degré.

Nous n'allons bien sûr pas prendre au hasard chaque expression ! Mais étudions plutôt chaque cas !

Cette première méthode consiste à faire disparaître (ou éliminer, ou neutraliser) les termes qui ne sont pas dans le bon membre de l'équation (les termes en \(x\) qui sont à droite ou les termes numériques qui sont à gauche).

C'est en fait assez facile : il faut être soigneux, savoir utiliser les quatre opérations et reconnaître un terme positif ou négatif !

Pour éliminer un terme, la méthode sera de lui ajouter son opposé. Bien sûr il faudra prendre quelques précautions, la première étant de vous rappeler ce que veut dire ce mot « opposé » !

Nous l'avons vu, un terme est composé d'un signe (\(+\) ou \(−\)) et d'un autre élément (\(x\) ou nombre).

L'opposé d'un terme, c'est le terme qui a le signe contraire.
Pour obtenir l'opposé d'un terme, on en change seulement le signe, c'est à dire qu'on le passe de \(+\) à \(−\) ou de \(−\) à \(+\).

Par exemple, l'opposé de \(+\,2\) est \(−\,2\), l'opposé de \(−\,3x\) est \(3x\).

Mais pourquoi donc vous parler de l'opposé d'un terme ? Parce qu'il existe la propriété suivante qui va nous permettre de simplifier beaucoup les équations du premier degré.

Quand on ajoute un terme et son opposé, le résultat est égal à zéro, la somme des deux est nulle.

Nous voyons que \(+\,2−\,2=0\) et \(−\,3x+3x=0\).

Revenons à nos équations. Voici maintenant la clé de la méthode que nous allons appliquer :

Et vous vous demandez peut-être à quelle sauce nous allons vous manger ! Ne vous inquiétez pas, comme d'habitude, avec les exemples tout s'éclaircira.

Pour faire disparaître un terme positif, il va falloir lui ajouter son opposé négatif. Le résultat sera zéro.

Mais nous devons toujours conserver l'égalité des deux membres de l'équation. Voici la règle qui nous y autorise :

Pour bien comprendre, souvenons-nous de l'exemple de la balance : quand nous avons retranché (ce qui veut dire enlevé, ou soustrait) un poids identique de chaque plateau de la balance, alors elle était toujours équilibrée.

Appliquons notre règle à l'équation suivante :

\[x + 2 = 5\]

Nous voyons \(2\) dans le membre de gauche, il faut donc le faire disparaître pour n'avoir que des \(x\) à gauche. Pour cela nous ajoutons à \(+\,2\) sont opposé, c'est à dire \(−\,2\). La somme des deux termes vaudra zéro. Et pour respecter la règle et conserver une véritable équation, nous devons en même temps enlever \(2\) au membre de droite.

Donc nous retranchons le nombre \(2\) à gauche et à droite du signe égal.

\[x\,\underbrace{+\,2 \color{red}{− 2}}_{=\,0} = 5 \color{red}{− 2}\]

En effectuant le calcul, nous obtenons :

\[x = 3\]

Donc l'équation, \(x + 2 = 5\) a pour solution \(x = 3\)

Il est évident que le nombre que l'on doit ajouter à 2 pour obtenir 5 est le nombre 3, mais c'est petits pas après petits pas que l'on avance loin. Tant mieux si cela vous paraît simple.

Cette propriété n'est pas seulement valable avec des nombres mais aussi avec n'importe quelle expression mathématique.

Par exemple, si nous prenons l'équation

\[x + 2 = 5 + 2x\]

Nous pouvons enlever \(2x\) de chaque membre :

\[x + 2 \color{red}{- 2x} = 5\,\underbrace{+\,2x \color{red}{- 2x}}_{=\,0}\]

Ce qui nous donne :

\[x + 2 - 2x = 5\]

Ensuite, pour simplifier encore plus l'équation, nous pouvons faire la même opération qu'au début avec le nombre \(2\).

Vous constaterez que l'opération de neutralisation des termes positifs se place en général vers le début du processus de résolution d'une équation.

Rien ne vaut la pratique pour apprendre ! Nous vous avons concocté un exercice interactif sur des équations où il faut éliminer des termes positifs par simplification.

Pour neutraliser un terme négatif, il va falloir lui ajouter son opposé positif. Le résultat sera zéro.

Et nous disposons d'une règle analogue à celle du premier cas.

Prenons l'exemple de l'équation :

\[x − 3 = 7\]

Nous devons éliminer le terme numérique \(−\,3\) du membre de gauche. Pour cela nous inscrivons le terme \(+\,3\) à gauche et à droite du signe égal.

\[x\,\underbrace{−\,3 \color{red}{+ 3}}_{=\,0} = 7 \color{red}{+ 3}\]

En effectuant le calcul, nous obtenons :

\[x = 10\]

Donc l'équation, \(x − 3 = 7\) a pour solution \(x = 10\)

Nous pouvons utiliser cette propriété avec toutes les expressions mathématiques.

Pour l'observer, étudions l'équation :

\[4x = 5 − 6x\]

Nous pouvons ajouter le terme \(+\,6x\) à chaque membre :

\[4x \color{red}{+ 6x} = 5 \,\underbrace{−\,6x \color{red}{+ 6x}}_{=\,0}\]

Et nous obtenons :

\[4x +6x = 5\]

En regroupant les termes en \(x\) nous arrivons à \(10x = 5\). Nous allons apprendre à simplifier cette équation avec la propriété que nous expliquons dans la section juste après.

Vous constaterez que l'opération d'élimination des termes négatifs se place en général vers le début du processus de résolution d'une équation.

Pour être sûr d'avoir bien compris la méthode, voici un exercice où vous devrez simplifier des équations avec des termes négatifs.

Si nous voulions être un tout petit peu plus général, nous pourrions dire que le membre de gauche aurait la forme \(ax\) (où \(a\) serait un nombre quelconque). Eh bien, c'est ce coefficient \(a\) que nous allons faire disparaître au moyen d'une simple division.

De la même façon que pour l'addition et la soustraction d'un terme, il existe une propriété des égalités bien pratique.

Ce nombre par lequel on divise ne peut pas être zéro.

En voici une illustration avec l'équation :

\[10x = 5\]

Nous devons faire disparaître le 10 du membre de gauche, donc nous divisons par 10 le côté gauche et le côté droit du signe égal.

\[\frac{10x}{\color{red}{10}}=\frac{5}{\color{red}{10}}\]

Le membre de gauche de l'équation se simplifie car nous avons 10 au numérateur et au dénominateur :

\[\require{cancel}\frac{\cancel{10}x}{\cancel{\color{red}{10}}}=\frac{5}{\color{red}{10}}\]

et nous obtenons

\[x=\frac{5}{10}\]

Puis en effectuant le calcul de la fraction, nous trouvons :

\[x = 0,5\]

Donc l'équation \(10x = 5\) a pour solution \(x = 0,5\)

Cette opération de simplification se place à la fin du processus de résolution d'une équation.

Nous vous avons bien sûr prévu un petit exercice de simplification d'équations où l'inconnue est multipliée par un coefficient.

Comme pour la multiplication dans le cas précédent, nous pourrions dire que le membre de gauche a la forme \(\displaystyle\frac{x}{a}\) (où \(a\) serait un nombre quelconque sauf zéro). Mais là, c'est par une multiplication que nous allons faire disparaître ce \(a\).

Et nous retrouvons encore le même type de fonctionnement.

Regardons le processus avec l'exemple suivant :

\[\frac{x}{2} = 5\]

Le membre de gauche est divisé par \(2\). Il faut donc le multiplier par \(2\) pour faire disparaître le \(2\) qui est sous la barre de fraction. Et pour maintenir l'égalité, il faut en même temps multiplier par \(2\) le côté droit du signe égal.

\[\frac{x}{2} × \color{red}2 = 5 × \color{red}2\]

Le membre de gauche de l'équation se simplifie car nous avons 2 au numérateur et au dénominateur :

\[\require{cancel}\frac{x}{\cancel{2}} × \cancel{\color{red}2} = 5 × \color{red}2\]

et nous obtenons

\[x=5 × 2\]

Puis en effectuant la multiplication, nous obtenons :

\[x = 10\]

Donc l'équation, \(\displaystyle\frac{x}{2} = 5\) a pour solution \(x = 10\)

Cette opération se place à la fin du processus de résolution d'une équation.

Retrouvez notre exercice de simplification d'équations où l'inconnue est divisée par un coefficient.

Voici donc l'équation légèrement plus compliquée que nous voulons résoudre (nous cherchons la valeur de \(x\) pour laquelle l'égalité est vraie) :

\[5x + 7 = 3x − 4\]

Les principes de base sont toujours les mêmes : nous allons partager les calculs en deux parties en nous occupant d'abord des termes en \(x\) puis dans un deuxième temps des termes numériques.

Repérons d'abord les termes en \(x\) : nous avons \(5x\) (qui est déjà à gauche) et \(3x\) (qui ne doit pas rester à droite).

Nous devons donc éliminer \(3x\) du côté droit. Pour cela, et comme nous l'avons vu dans le premier cas, nous allons lui soustraire \(3x\) (faire \(− 3x\)). Mais nous ne devons pas oublier que l'égalité doit toujours rester vraie, quelles que soient les manipulations que nous lui faisons subir : il faut aussi retirer \(− 3x\) du membre de gauche de l'équation. Ecrivons-le :

\[\array{5x + 7 \color{red}{− 3x} = & 3x & −\,4 & \color{red}{−\,3x}\\ \, & \;\;\;\;↘ & \, & ↙\;\;\;\; \\ \, & \, & ^{=\,0} & \, }\]

Et plus d'inconnue dans le membre de droite !

Calculons maintenant le nombre de \(x\), ce qui simplifiera beaucoup l'équation :

\[\array{5x & +\,7 & \color{red}{−\,3x} & = −\,4 \\ \;\;\;\;↘ & \, & ↙\;\;\;\; & \, \\ \, & ^{=\,2x} & \, & \, }\]

En fait nous effectuons ici l'opération \(5x − 3x\), qui nous donne le résultat \(2x\) (Souvenez-vous 5 pommes moins 3 pommes donnent bien 2 pommes restantes).

Donc, en réduisant, cela nous donne :

\[2x + 7 = -4\]

Nous voici prêt pour la deuxième étape où nous allons nous occuper des nombres.

Nous repartons sur l'équation que nous venons d'obtenir.

\[2x + 7 = − 4\]

Les termes qui ne contiennent pas l'inconnue sont les valeurs numériques, ce sont des nombres, donc dans notre équation : \(− 4\) (qui est déjà à droite) et \(7\) (qui ne doit pas rester à gauche).

Nous enlevons \(7\) du membre gauche de l'équation (nous faisons \(− 7\)) et donc aussi du membre droit pour respecter l'égalité.

\[2x\;\underbrace{+\,7 \color{red}{− 7}}_{=\,0} = − 4 \color{red}{− 7}\]

Ce qui nous donne l'équation :

\[2x = -11\]

Arrivé là, ce n'est pas fini, il nous faut diviser par \(2\) de chaque côté (car nous savons ce que valent 2 fois notre inconnue \(x\)).

\[\frac{2x}{\color{red}2}=\frac{-11}{\color{red}2}\]

Nous pouvons simplifier par 2 la fraction de gauche et calculer celle de droite :

\[\require{cancel}\frac{\cancel2x}{\cancel{\color{red}2}}=\frac{-11}{\color{red}2}\]

et nous obtenons

\[x = -5,5\]

L'équation \(5x + 7 = 3x − 4\) a pour solution \(x = -5,5\)